过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.椭圆中心为O.当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程.

椭圆x^2/2+y^2=1
a^2=2 b^2=1
c^2=a^2-b^2=1
有对称性不妨设F为右焦点
右焦点F(1,0)

设直线l: ky=x-1
代入x^2/2+y^2=1
(ky+1)^2+2y^2=2
(2+k^2)y^2+2ky-1=0
y1+y2=(-2k)/(2+k^2)

SΔA0B=SΔA0F+SΔB0F
=1/2*|OF|*|y1|+1/2*|OF|*|y2|
=1/2*|OF|*(|y1|+|y2|)
=1/2*(|y1|+|y2|)
由y1*y2=-1/(2+k^2)<0
=1/2*|y1-y2|

|y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=[(-2k)/(2+k^2)]^2+4/(2+k^2)
=(8+8k^2)/[(2+k^2)^2]
令2+k^2=t≥2 k^2=t-2
=(8t-8)/t^2
=-8/t^2+8/t
=-8(1/t-1/2)^2+2
≤2

SΔA0B≤1/2*√2=√2/2

取最大值时
1/t=1/2 t=2 k^2=0
k=0

直线l: 0*y=x-1
x=1